Bu yazıyla matematiği seveceksiniz

Bugün iyi bir haber aldım ve hemen arkadaşlarımla paylaştım. Barış Pehlivan da o arkadaşlardan biriydi, ve konuyu Odatv için yazmamı istedi....

Bugün iyi bir haber aldım ve hemen arkadaşlarımla paylaştım. Barış Pehlivan da o arkadaşlardan biriydi, ve konuyu Odatv için yazmamı istedi. Barışlar'ı kırmak olmaz, o yüzden işte karşınızdayım. Bakalım iyi anlatabilecek miyim?

İşin özeti şu: Çağlardan beri matematikçilerin üzerinde kafa yorduğu bir problemin çözümü yolunda daha birkaç gün önce çok büyük bir adım atıldı. Binlerce yıl boyunca nice büyük zekânın emek verdiği bu insanlık projesinin son adımında kilit önemdeki katkılardan biri de bir Türk'ten, Boğaziçi Üniversitesi hocası Cem Yalçın Yıldırım'dan geldi.

Sıra ayrıntılarda. Okul günlerinizden muhtemelen hatırladığınız gibi, sadece kendisine ve 1'e kalansız bölünebilen 1'den büyük doğal sayılara "asal" denir. Sözgelimi 11 sayısı asaldır. İnanmıyorsanız 11'i 2'den 10'a dek tüm sayılara sırayla bölün; hep "küsuratlı" sonuçlar çıktığını görüp bana hak vereceksiniz. Öte yandan mesela 15 asal değildir, çünkü 3'e ve 5'e kalansız bölünebilir.

"Asal sayı" olgusunun bundan 4000 yıl kadar önce insanlarca fark edildiğine inanılıyor. Bundan 2300 yıl kadar önce Eukleides hem sonsuz tane asal sayının varolduğunu, hem de asal sayıların diğer doğal sayıların "atomları" olduklarını, yani asal olmayan 1'den büyük her doğal sayının bir veya birkaç belirli asalın birbirleriyle çarpımı olduğunu kanıtladı.

Doğal sayılar ne kadar monoton, ne kadar öngörülebilir şeyler değil mi? 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Ne sıkıcı! O yüzden uykumuz gelsin diye koyun sayıyoruz geceleri! Peki ya bu sonsuz listenin içindeki asallar? Onlar da çok basit bir kurala göre tanımlandıklarına göre sıkıcı bir liste oluştururlar, ve haklarında bilinmeyen bir şey kalmamıştır herhalde, değil mi? Değil işte!

Gelin küçükten büyüğe asalların listesini yazmaya başlayalım: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137,...

Burada keselim. Bir düzen gördünüz mü? İlkokul öğrencilerine öğretilen deyimle, bir "örüntü" var mı? Yani yukarıdaki listenin gidişatına bakarak bir sonraki asalın kaç olacağını kolayca söyleyebiliyor musunuz?

İnanın binlerce yıldır dünyanın en zeki insanlarından bazıları bunu inceliyor, ve bir örüntü bulabilmiş değiller. Yani bu liste hiç de "sıkıcı" değil! Asalların diğer sayıların arasına nasıl "serpildiklerinin" anlaşılması çok zor ve temel bir problem, o yüzden de nice matematikçinin aklı hep bununla meşgul.

HER MATEMATİKÇİNİN RÜYALARINI SÜSLÜYOR

Bu araştırmanın önemli sorularından biri şu oldu: Listedeki iki komşu asalın arasındaki farklar, liste uzatıldıkça açılır mı? Yukarıdaki listeye yine bakın. 2'yle 3 arasındaki fark 1. (Listenin devamında bu kadar küçük bir farkı bir daha göremeyeceğiz, çünkü 2'den büyük çift sayılar asal olamaz.) 3'le 5 arasındaki fark 2. Böyle hesaplayarak giderseniz farkın bir büyüyüp bir küçüldüğünü, arada bir 2'ye düştüğünü, sonra aniden (113'le 127 arasında) 14'e fırladığını

göreceksiniz. Bu soru üzerinde ciddi şekilde çalışılmaya başlanmasından yüz yıldan fazla zaman geçtikten sonra, 1896'da Jacques Hadamard ve Charles Jean de la Vallée-Poussin çok çok uzun vadede, liste sonsuza doğru uzarken, bu farkların ortalamasının yavaşça artacağını ispatladı. Ama dikkat, bu ispat bir ortalamadan söz ediyor, yani listedeki yürüyüşümüzde tekrar tekrar küçük farklara rastlamayacağız anlamına gelmiyordu.

Nihayet konumuza geldik. Aralarındaki farkın sadece 2 olduğu asal sayı çiftlerine "ikiz asallar" denir. Matematikçiler ta Eukleides'ten beri bu ikiz asal çiftlerinin sayısının sonsuz olup olmadığını merak etmektedir. (Sanırım çoğunluğu "sonsuzdur" diye düşünüyordur, ama bu matematikçi milleti bir şeyi ispatlamadıkça o konuda pek "şöyledir, böyledir" demezler, "bilmiyoruz" der geçerler. Örnek alınması gereken bir özellik.) Bu "ikiz asal problemi"ni çözmek her matematikçinin rüyalarını süsleyen bir amaçtır.

GPY MAKALESİ

2003'te Boğaziçi Üniversitesi, Matematik Bölümü'nden bir hocanın önemli bir buluş yaptığı haberiyle çalkalandı. Cem Yalçın Yıldırım, ABD'li meslektaşı Dan Goldston'la birlikte yaptığı bir çalışmayla listede yürüdükçe aralarındaki farkın (sabit değilse de) 1896'da ispatlanan ortalamadan çok daha yavaş açıldığı sonsuz sayıda asal çiftinin varolduğunu ispatlamıştı. Sonradan duydum ki Yıldırım'ın "bu çalışmada bir eksiklik olduğunu hissediyorum, tekrardan iyice incelemeden duyurmayalım" demesine karşın Goldston sabırsızlanarak makaleyi tüm matematikçilerin incelemesi için internete koymuş. Kısa sürede ispatın gerçekten de eksik olduğu ortaya çıktı, makale yazarlarınca geri çekildi. Olur böyle şeyler.

Goldston ve Yıldırım ispatlarının "onarılabileceğini" düşünüyorlardı. Macar matematikçi János Pintz'i de aralarına alıp 2 yıl daha çalıştılar. 2005'te başardılar. Matematik dünyasında soyadlarının alfabetik sırasıyla "GPY makalesi" olarak bilinen eserlerini dünyaya sundular. Bu çalışma ikiz asal problemi hakkındaki en önemli ilerleme olarak karşılandı; bu işlerden anlayanlar GPY'nin sadece vardığı sonuçlarla değil, bu sonuçları ispatlamak için geliştirdiği kavramların ileride başka ispatlarda kullanılabilirliği nedeniyle de büyük bir katkı olduğunu söylüyordu. Haklı oldukları da bu yıl anlaşıldı.

Çin asıllı bir ABD'li matematikçi olan Yitang Zhang, 1991'de mezun olduktan sonra uzun süre hiç bir üniversitede iş bulamamış, geçinmek için muhasebecilik, motel ve restoranlarda işçilik yapmış, sekiz yılın sonunda New Hampshire Üniversitesi'nde okutman kadrosuna alınmıştı. Zhang, GPY makalesindeki yöntemden yararlanarak aralarındaki farkın belirli bir sabiti aşmadığı sonsuz sayıda asal çiftinin varolduğunu kanıtlayabileceğini düşündü. Matematikçilerin çoğunun aksine, çalışmasını başkalarıyla tartışmadan uzun süre tek başına didindi, 12 yıl boyunca hiç bir makale yazmadan bu konuya yoğunlaştı, ve bu yılın Mayıs'ında bombayı patlattı: Farkları "taş çatlasa" 70 milyoncuk olan sonsuz sayıda asal çiftinin varlığını ispatlamıştı. O andan itibaren iş ve seminer tekliflerinden başını kaşıyamayacak durumda olan Zhang'ın kendi üniversitesince profesörlüğe yükseltileceği haberini alması gecikmedi.

Diğer matematikçiler Zhang'ın çalışmasının üzerine aç kurtlar gibi üşüştüler. Amaçları onun tekniklerini geliştirip farkı 70 milyondan daha küçük değerlere çekmekti. Mayıs ayı bitmeden 60 milyonun altına inilmişti. 4 Haziran'da fark 4.800.000 civarındayken dâhi matematikçi Terence Tao farkı daha da indirmek için birlikte çalışmak isteyen herkese açık bir "imece" çalışması başlattığını duyurdu. 15 Haziran'da bir hamburger restoranının önünde kuyrukta bekleyen Yalçın hocaya selam verip son durumu sordum, yanlış hatırlamıyorsam o sabah itibariyle farkın 700.000'e çekilmiş olduğunu söyledi, ama GPY'deki yöntemle gidilerek ne kadar uğraşılırsa uğraşılsın 16'nın altına inmenin zor olduğunu da gülümseyerek ekledi. 27 Temmuz'da Tao imecesi, bilgisayarlardan da yardım alarak farkı 4.680'e indirdi, bildiğim kadarıyla vardıkları en iyi sonuç hâlâ bu.

HATALI ESERDEN ÇIKAN YENİLİK TOHUMU

Şimdi başta sözünü ettiğim iyi habere geliyoruz: 19 Kasım'da Montreal Üniversitesi'nde doktora sonrası araştırma yapan genç matematikçi James Maynard, Zhang'ınkinden başka bir yöntem kullanarak farkı 600'e indirdiğini duyurdu. Uzmanlar hop oturup hop kalkıyor. Bu yeni yöntemi geliştirip daha da aşağı inmek için bir imece başlamak üzere.

Peki Maynard GPY kullanmadıysa ne kullanmıştı dersiniz? Hani Goldston'la Yıldırım'ın sonradan yanlış olduğunu anlayıp geri çektikleri makaleleri vardı ya, işte onu! Anlaşılan herkes düzeltilmiş makaleye odaklanmış, bir daha eskisine dönüp bakmaya zahmet etmemişti. Maynard ise son bir yılı kimselere haber vermeden eski makaledeki tekniği düzeltmenin daha verimli bir yolu olup olmadığını araştırarak geçirmiş, sonunda da hazineyi keşfetmişti; makalesi Yıldırım ve ekibinin çalışmalarına göndermelerle doluydu. Hatalı bir eserinde bile matematikte çığır açacak yeniliklerin tohumları bulunan bir hocanın meslektaşları olarak bize de gururlanmak kalmıştı.

Maynard'ın iyileştirmesi sonucu Yalçın hocanın hamburgercide sözettiği 16 sınırının da 12'ye indiği anlaşılıyor. Yani bu yoldan gidenlerin farkı 2'ye indirmeleri hâlâ mümkün görünmüyor, ve ikiz asal probleminin çözümü için en az bir zekâ pırıltısı daha gerekiyor. Neden o da Türkiye'den çıkmasın?

(Bu metni yazarken yardımını esirgemeyen Yılmaz Akyıldız hocamıza teşekkür ediyorum. Yazıdaki doğrular ona, kalan hatalar bana aittir.)

Prof. Dr. Cem Say

Odatv.com

prof. dr cem say matematik arşiv